「ATのソレノイドって、なに？」

ソレノイドとは「電流を流すことによって、コイル内に磁界をつくる筒型コイル」ですが、ATに使われる場合は「ATの変速を制御する油圧の経路の切り替え装置」と考えてください。

お乗りのプジョー406ブレークは、直4エンジン搭載モデルではないでしょうか？　だとすると、使われているATは「AL4」と呼ばれる4段ATで、プジョーのほかルノー、シトロエンなどフランス車の多くのモデルに使われています。現在使われているAL4は改良が進み、以前のようなトラブルはないといわれていますが、かつては不調を訴える声をときおり聞きました。「ソレノイド不良」の直接の原因は不明ですが、私自身も実際に所有していた某車のAL4でトラブルを体験しています。ソレノイドの不調でシフトアップしなくなったため、ATを丸ごと交換したのです。
このようにソレノイドが不調になると、スムーズなシフトアップ／ダウンが行えなくなったり、シフトショックが大きくなったり、速度とアクセル開度に対して適切なギアを選択できずに走りがギクシャクしたり、といった症状が現れます。

高速道路の走行が主体という、一般的にはクルマへの負担が少ないとされる使用状況でATが不調になってしまったのはお気の毒ですが、ここはプロの診断を仰ぐほかに解決策はないでしょう。しかし、おっしゃるように修理費用は安くはないでしょうから、「不調の原因」「交換する部品は対策品か否か」「修理後に再度故障した場合の保証」などをはっきりと確認してから、修理を依頼されたほうがいいと思います。